Considérons n variables diverses x, y, z, u, v, …. Le nombre total N des arrangements que l'on pourra former avec ces variables sera déterminé par la formule

Soit d'ailleurs s une fonction lineaire de x, y, z, … déterminée par une équation de la forme

Les diverses valeurs de cette fonction seront toutes égales entre elles, et par suite la fonction sera symetrique, si les coefficients a, b, c, … sont tous égaux entre eux. Si, au contraire, plusieurs coefficients sont inégaux, la fonction s offrira plusieurs valeurs distinctes dont le nombre sera facile à calculer. Enfin, si tous les coefficients sont inégaux, les N valeurs de la fonction s seront toutes distinctes les unes des autres.

Concevons maintenant que α étant une racine de l'équation

on réduise les coefficients

aux divers termes de la suite

La formule (2) donnera

Soit d'ailleurs

On aura

et, par conséquent,

puis on enconclura

ou, co qui revient au même,

Lorsque α représente une racine primitive de l'équation (2), alors les n termos de la série (3) étant tous inègaux ontre eux, la fonction s déterminée par la formule (4) offre N valeurs distinctes. Mais comme, en vertu de la formule (8), sureprésonte une fonction qui n'est plus altéréee par la substitution P, cette dernière fonction offre évidemment autant de valours distinctes qu'il y a d'unités dans le rapport.