Un grand nombre de formules relatives à la transformation des fonctions, par exemple celles qui servent à les développer en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes des variables, subsistent sous la condition que les fonctions restent continues. Il importait donc d'examiner sous le rapport de la continuité les fonctions qui représentent les intégrates d'un système d'équations différentielles. Tel est l'objet du présent Mémoire.

Pour qu'une fonction donnée de la variable x reste continue dans le voisinage d'une valeur réelle ou imaginaire attribuée à cette variable, il est nécessaire et il suffit : 1° que, dans ce voisinage, la fonction obtienne, pour chaque valeur de x, une valeur unique et finie; 2° que la fonction varie avec x par degrés insensibles. La seconde condition peut d'ailleurs être remplie sans que la première le soit, et alors la fonction que l'on considère est une fonction multiple dont les diverses valeurs peuvent être considérées comme représentant diverses fonctions continues de la variable x. C'est en particulier ce qui arrive, conformément à ce qui a été dit dans le précédent Mémoire, si la dérivée de la fonction donnée devient infinie pour certaines valeurs de x, ou si cette dérivée renferme des racines d'équations algébriques ou transcendantes qui soient assujetties à varier par degrés insensibles avec la valeur de x.