Il est démontré par Mentagui [ESAIM: COCV9 (2003) 297-315] que, dans le cas des espaces de Banach généraux, la convergence d'Attouch-Wets est stable par une classe d'opérations classiques de l'analyse convexe, lorsque les limites des suites d'ensembles et de fonctions satisfont certaines conditions de qualification naturelles. Ceci tombe en défaut avec la slice convergence. Dans cet article, nous établissons des conditions de qualification uniformes assurant la stabilité de la slice convergence et de la slice convergence duale par les mêmes opérations, dont le rôle est fondamental en optimisation convexe. Nous obtenons comme conséquences certains résultats clés de stabilité de l'épi-convergence établis par Mc Linden et Bergstrom [Trans. Amer. Math. Soc.286 (1981) 127-142] en dimension finie. Comme application, nous présentons un modèle de convergence et de stabilité recouvrant une large classe de problèmes en optimisation convexe et en théorie de la dualité. Les éléments clés dans notre démarche sont l'analyse d'horizon, les notions de quasi-continuité et d'inf-locale compacité des fonctions convexes, puis la bicontinuité de la transformation de Legendre-Fenchel relativement à la slice convergence et la slice convergence duale.