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INTÉGRALES ORBITALES SUR 
$GL(N,\mathbb{F}_{q}((t)))$
Part of:
Lie groups
Published online by Cambridge University Press: 14 May 2019
Résumé
Soit 
$F$
un corps local non archimédien de caractéristique 
${\geqslant}0$
, et soit 
$G=GL(N,F)$
, 
$N\geqslant 1$
. Un élément 
$\unicode[STIX]{x1D6FE}\in G$
est dit quasi régulier si le centralisateur de 
$\unicode[STIX]{x1D6FE}$
dans 
$M(N,F)$
est un produit d’extensions de 
$F$
. Soit 
$G_{\text{qr}}$
l’ensemble des éléments quasi réguliers de 
$G$
. Pour 
$\unicode[STIX]{x1D6FE}\in G_{\text{qr}}$
, on note 
$O_{\unicode[STIX]{x1D6FE}}$
l’intégrale orbitale ordinaire sur 
$G$
associée à 
$\unicode[STIX]{x1D6FE}$
. On remplace ici le discriminant de Weyl 
$|D_{G}|$
par un facteur de normalisation 
$\unicode[STIX]{x1D702}_{G}:G_{\text{qr}}\rightarrow \mathbb{R}_{{>}0}$
permettant d’obtenir les mêmes résultats que ceux prouvés par Harish-Chandra en caractéristique nulle: pour 
$f\in C_{\text{c}}^{\infty }(G)$
, l’intégrale orbitale normalisée 
$I^{G}(\unicode[STIX]{x1D6FE},f)=\unicode[STIX]{x1D702}_{G}^{\frac{1}{2}}(\unicode[STIX]{x1D6FE})O_{\unicode[STIX]{x1D6FE}}(f)$
est bornée sur 
$G$
, et pour 
$\unicode[STIX]{x1D716}>0$
tel que 
$N(N-1)\unicode[STIX]{x1D716}<1$
, la fonction 
$\unicode[STIX]{x1D702}_{G}^{-\frac{1}{2}-\unicode[STIX]{x1D716}}$
est localement intégrable sur 
$G$
.
Abstract
Let 
$F$
be a non–Archimedean local field of characteristic 
${\geqslant}0$
, and let 
$G=GL(N,F)$
, 
$N\geqslant 1$
. An element 
$\unicode[STIX]{x1D6FE}\in G$
is said to be quasi–regular if the centralizer of 
$\unicode[STIX]{x1D6FE}$
in 
$M(N,F)$
is a product of field extensions of 
$F$
. Let 
$G_{\text{qr}}$
be the set of quasi–regular elements of 
$G$
. For 
$\unicode[STIX]{x1D6FE}\in G_{\text{qr}}$
, we denote by 
$O_{\unicode[STIX]{x1D6FE}}$
the ordinary orbital integral on 
$G$
associated with 
$\unicode[STIX]{x1D6FE}$
. In this paper, we replace the Weyl discriminant 
$|D_{G}|$
by a normalization factor 
$\unicode[STIX]{x1D702}_{G}:G_{\text{qr}}\rightarrow \mathbb{R}_{{>}0}$
which allows us to obtain the same results as proven by Harish–Chandra in characteristic zero: for 
$f\in C_{\text{c}}^{\infty }(G)$
, the normalized orbital integral 
$I^{G}(\unicode[STIX]{x1D6FE},f)=\unicode[STIX]{x1D702}_{G}^{\frac{1}{2}}(\unicode[STIX]{x1D6FE})O_{\unicode[STIX]{x1D6FE}}(f)$
is bounded on 
$G$
, and for 
$\unicode[STIX]{x1D716}>0$
such that 
$N(N-1)\unicode[STIX]{x1D716}<1$
, the function 
$\unicode[STIX]{x1D702}_{G}^{-\frac{1}{2}-\unicode[STIX]{x1D716}}$
is locally integrable on 
$G$
.
MSC classification
- Type
- Research Article
- Information
- Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu , Volume 20 , Issue 2 , March 2021 , pp. 423 - 515
- Copyright
- © Cambridge University Press 2019
Footnotes
L’auteur a bénéficié d’une subvention de l’Agence nationale de la recherche, projet ANR-13-BS01-00120-02 FERPLAY
References
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