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Published online by Cambridge University Press: 14 February 2012
With the aim of establishing, under wide conditions, the ergodic theorem of G. D. Birkhoff, the author extends the class of asymptotically almost-periodic functions, considering now not only continuous functions, as he had already done in 1943, but discontinuous functions. Definitions and properties of the extended class of functions are set out, some comparisons being made with almost-periodic functions in the sense of Bohr, Stepanoff, Weyl and Besicovitch. Applications to the ergodic theorem are adumbrated.
page 61 note * “Les fonctions asymptotiquement presque périodiques et leur application au problème ergodique”, Revue Scientifique, 79ème Année, 1941, pp. 341–354 et 407–417.
page 62 note * “Sur le problème ergodique”, Revue Scientifique, 81e Année, 1943, pp. 115–157.
page 62 note † Voir le premier article cité ci-dessus, pour les raisons qui nous font considérer ic une demi-droite au lieu d'une droite entière et un peu plus loin une certaine limite quand un nombre K tend vers + ∞ au lieu de ± ∞.
page 63 note * Pour abréger, nous supprimerons dans la suite les mots “à droite”.
page 64 note * C'est, par exemple, ce qui a lieu quand les transformations Φ(t) sont des fonctions numeriques, chacune absolument integrable sur son domaine de definition et qu'on prend 
C'est aussi ce qui a lieu dans l'exemple considéré plus loin, où
page 64 note † Un ensemble S est compact en soi lorsque dans toute suite de points Mn de S, il existe une sous-suite de points M n1, M n2, … qui converge vers un point de S.
page 65 note * Voir pour leurs définitions, Leçons sur les fonctions presque périodiques par Favard. Gauthier-Villars, 1933.
page 65 note † Définition plus loin, p. 66.
page 65 note ‡ Voir Kovanko, A. S., “Sur la compacité des systèmes de fonctions presque périodiques généralisées de H. Weyl”, C.R. Aead. Sc. U.R.S.S., XLIII, 1944, 275–276.Google Scholar
page 66 note * “L'intégrale abstraite d'une fonction abstraite d'une variable abstraite et son application à la moyenne d'un élément aléatoire de nature quelconque”, Revue Scientifique, 82e Année, 1944, pp. 483–512.
page 67 note * Ce langage suppose implicitement que ψ(t) soit intégrable sur tout segment fini de t ≥ a, (c. a. d. qu'il en soit ainsi pour ses coordonnées).
