Chère Leila

Void comment je vois ces questions de H0 et de H1.

Tout d'abord, une notation: soit C une catégorie de groupes finis satisfaisant à l'axiome suivant: si G ∈ C, tout groupe isomorphe à un sous-groupe de G, à un quotient de G, ou à un produit G × … × G, appartient à C. Si F = F(x,y) est le groupe libre de base {x,y}, je noterai FC la limite projective des quotients de F qui appartiennent à C (c'est le complété de F pour la “C-topologie”, en un sens évident).

Si l'on prend pour C la catégorie de tous les groupes finis, on trouve pour FC le groupe profini libre qui t'intéresse; mais j'ai envie de pouvoir prendre d'autres catégories, par exemple:

les groupes finis dont l'ordre ne fait intervenir qu'un ensemble donné de nombres premiers (par exemple 2 et 3, pour la suite); en particulier les p-groupes.

J'aurai besoin plus loin que C possède la propriété suivante, relative à un nombre premier p:

(Ep) − Si 1 → N → G → H → 1 est une suite exacte de groupes finis telle que H ∈ C et que N soit un p-groupe (ou N ∈ C et H un p-groupe), alors on a G ∈ C. (Bref, C est stable par extensions par les p-groupes.)