Les factorielles de la forme de celles que nous avons représentées à 1'aide de la lettre II dans les Mémoires précédents se réduisent cha cum au produit de deux factorielles géométriques dont la raison est la mèmo, et jouissent de cette propriété que, si l'on égale à zéro l'une d'entre elles, on obtiendra une équation dont toutes les racines, à 1'exception de la première, qui sera indépendante de la raison, se correspondront deux à deux, de manière à offrir des valeurs inverses ou réciproques l'une de l'autre. Cette propriété, analogue à celle que présentent les équations réciproques, nous conduit naturellement à désigner les factorielles dont il s'agit sous le nom de factorielles réciproques. Nous appellerons d'ailleurs base d'une factorielle réciproque la base de la première des deux factorielles géométriques dont elle sera le produit, ou, ce qui revient au même, le second terme de celui des facteurs binòmes qui ne renfermera pas la raison.

Lorsque l'on divise l'une par l'autre deux factorielles réciproques dont les raisons sont égales, et dont les bases varient dans un rapport donné, on obtient pour quotient une fraction qui peut être réduite à une fonction elliptique dans trois cas particuliers, savoir, lorsque les bases sont égales, mais affectées de signes contraires, et lorsque le rapport des bases se trouve représenté, au signe près, par la racine carrée de la raison.