¹ The first number suggesting almost inevitably the accepted, and approximately accurate, ratio of circumference to radius of a circle: 22/7; and the second being exactly its half—as one does not fail to notice, after only a little over a canto's interval. The matter-of-fact impression produced by the second number is also heightened by the additional information immediately furnished, that the smaller circle is “not less than half a mile across.”

² Inf., iii, 135 f.; v, 141 f.

³ Purg., ix, 59 ff.

⁴ Conv., ii, vi, 10: “… al mezzo de la terra, che ci ha di spazio tremilia dugento cinquanta miglia.” Cf. ibid., xiii, 11;iv, viii, 7;iii, v, 11.

⁵ Par., xxix, 1 ff.: “Quando ambedue li figli di Latona,/ coperti del Montone e de la Libra,/ fanno de l'orizzonte insieme zona,/ quant' è dal punto che ‘l cenit inlibra,/ infin che l'uno e l'altro da quel cinto,/ cambiando l'emisperio, si dilibra,/ tanto, col volto di riso dipinto,/ si tacque Beatrice, riguardando / fisso nel punto che m’ avea vinto.”

⁶ Par., xxix, 49 ff.: “Nè giugneriesi, numerando, al venti / sì tosto, come de li angeli parte / turbò il suggetto de'vostri elementi.”

⁷ Benv. da Imola (Vernon ed., Vol. v; Florence: Barbèra, 1887; p. 431): “… non posses numerare usque ad viginti, immo non ad duo, quia peccaverunt in instanti suae creationis.” St. Thomas Aquinas, Summa. theol., P. i, qu. xliii, art. 6: “Necesse est dicere, quod statim post primum instans suae creationis diabolus peccaverit, …” —Dante himself, Conv., ii, v., 12, says: “… si perderono alquanti tosto che furono creati …”

⁸ Par., xxix, 52 f.: “L'altra rimase, e cominciò quest' arte / che tu discerni, …”

⁹ “ … eran tante, che ‘l numero loro / più che ‘l doppiar de li scacchi s'immilla.”

¹⁰ E.g., Buti's comment, late fourteenth century (with several errors of numbers, as appearing in the ed. by C. Giannini, Vol. iii (Pisa: F.lli Nistri, 1862), p. 746): “… del quale numero chi facesse ragione quanto ê tutto insieme, troverebbe che 13 milliaia” (sic) “di migliaia di migliaia di migliaia di migliaia di migliaia di migliaia, 446 migliaia di migliaia di migliaia di migliaia di migliaia di migliaia, 1644” (sic) “migliaia di migliaia di migliaia di migliaia di migliaia, 173 migliaia di migliaia di migliaia di migliaia, 1709” (sic) “migliaia di migliaia di migliaia, e 551 migliaio, 617; ecco a quanto grande numero crescerebbe lo numero delli scacchi.” This, as it stands, is about a thousand times too great, by somebody's blunder; but never mind!—The correct number, adding all the quotients, is 18,446,744,073,709,551,615. Scarabelli's ed. of Jacopo della Lana's early fourteenth century commentary (Bologna: Tipografia Regia, 1866) gives the number thus, in consecutive Arabic numerals (except that the last digit is put as “7”); but the editor states in a footnote that the correct number would be “9223372036854448128.” By which he is evidently intending to give, not the total of the quotients, but only the last (sixty-fourth) quotient (correctly: 9,223,372,036,854,775,808).

Lana (loc. cit.), and the Anonimo Fiorentino in the Fanfani ed. (in Collezione di Opere inedite o rare; Bologna, 1874), which is practically the same, word for word and figure for figure, apparently reading “… ch' è ‘l numero loro / più che ‘l doppiar de li scacchi sei milla”—or similarly—, say: “e così dice che seimila fiate questo numero non potrebbe comprendere lo numero delli angeli”!

The Ottimo Commento, also early fourteenth century, says: “Pone un numero innumerabile.” Benv. da Imola, late fourteenth century: “quasi dicat, quod erant innumerabiles sicut in ludo scachorum.”

¹¹ Par., xxix, 130 ff.: “Questa natura sì oltre s'ingrada / in numero, che mai non fu loquela / nè concetto mortal che tanto vada:/ e se tu guardi quel che si rivela / per Daniel, vedrai che 'n sue migliaia / determinato numero si cela.”

¹² Alb. Mag., Opera Omnia, Vol. xiv (Paris, 1892), p. 380 f., commenting on Pseudo-Dionysius, De Coel. Hier., Cap. xiv “Quid significai traditus angelicus numerus?”: … “Divisio Textus … dicitur Dan. vii, 10: Millia millium ministrabant ei, et decies millies centena millia assistebant ei …/… Dan. vii, 10, dicitur, millies” (sic!) “millia. Et Matth. xxvi, 53, dicitur:… plusquam duodecim legiones Angelorum … Solutio. Dicimus, quod Angelorum est maxima multitudo infinita nobis, Deo autem finita et sibiipsis.” (Cf. Fra Giordano, Genesi 60: ap. Vandelli, 9 ed., 882)—This is Filomusi-Guelfi's explanation, Giorn. xxii, 55; but he misses critical quotations, such as Albertus', re Angels.

¹³ “Dico che di tutti questi ordini si perderono alquanti tosto che furono creati, forse in numero de la decima parte; a la quale restaurare fu l'umana natura poi creata.”

¹⁴ This is the attitude, e.g., of Thomas Aquinas, Summa theol., P. i, qu. xxiii, art. 7: “De numero omnium praedestinatorum hominum quis sit, dicunt quidam quod tot ex hominibus salvabuntur, quot Angeli ceciderunt. Quidam vero, quod tot salvabuntur, quot Angeli remanserunt. Quidam vero, quod tot ex hominibus salvabuntur, quot Angeli ceciderunt, et insuper tot quot fuerunt Angeli creati Sed melius dicitur quod soli Deo cognitus numerus electorum. …”

¹⁵ Corvo., ii, xiv, 13: “… noi siamo già ne l'ultima etade del secolo …” Cf. IV. Esdras, passim; esp. xiv, 10 ff.: “Quoniam saeculum perdidit juventutem suam, et tempora appropinquant senescere. (11) Duodecim enim partibus divisum est saeculum, et transierunt ejus decima,” (sic) “et dimidium decimae partis.(12) Supersunt autem ejus post dimidium decimae partis.” The “decima” of the Vulgate text, above, should be “nona,” as is shown by non-Latin versions, as well as by the context: cf. R. H. Charles, Apocrypha and Pseudepigrapha of the Old Testament in English, 2 vols. (Oxford: Clarendon Press, 1913), vol. ii, p. 621.

¹⁶ Cf. Par., xxvi, 118 ff.

¹⁷ xxx, 124 ff.

¹⁸ “Da quella region che più su tona / occhio mortale alcun tanto non dista,/ qualunque in mare più giù s'abbandona,/ quanto lì da Beatrice la mia vista.”

¹⁹ Par., xxvi, 46 f.

²⁰ E.g.: Jacopo della Lana (Scarabelli ed., vol. iii; Bologna: Tipografia Regia, 1866; p. 325): “… dalla superficie della terra a quello luogo dell'aiere, dove si genera li tornitrui, la … distanzia, secondo lo Filosofo, si è da xvi stadii, facendo lo stadio di cccc cubiti, che può essere da due miglia e terzo italiane.”—Anonimo Fiorentino (Fanfani ed., vol. iii; Bologna: Romagnoli, 1874; p. 390): “… dalla superfice della terra a quello luogo dello aire, dove s'ingenera tronitrui; la … distanzia, secondo gli Filosofi, sì è da xvj stadj, facendo lo stadio di cccc mila passi” (sic!), “che può esser da due miglia e terzo italiane.”—Francesco da Buti (Giannini ed., vol. iii; Pisa: F.lli Nistri, 1862; p. 596): “Dice lo Filosofo che 'l tuono, che si fa ne le nube, si fa in luogo distante nell'aire dalla terra per due millia e mezzo che sono xvi stadi, che è ogni stadio 400 goviti.”

²¹ Hist. nat., ii, 102, 105, 224; “Altissimum mare xv stadiorum Fabianus tradit.”

²² Incidentally: Dante's first estimate of the number of tiers as being “more than a thousand,” in Par., xxx, 113 (“ … più di mille soglie”), if it is to be taken at all definitely, would indicate a height of perhaps twenty feet or more for each. The proportion is not bad.

²³ “… la sua circunferenza / sarebbe al sol troppo larga cintura.”

²⁴ Conv., iv, viii, 7.

²⁵ The seventh Angelic Circle was so broad, “che 'l messo di Iuno / intero a contenerlo sarebbe arto.”

²⁶ See f.n. 22, supra.

²⁷ It is found, e.g., in the Mare Amoroso, in the works of the Troubadours Folquet, P. Vidal, P. Tedaldi, etc.; see references and quotations in Torraca's Commentary, n. to Par., xxviii, 92 f., and in Bulletino d. Soc. dant. ital. N.S., iv, p. 70 (ott.-nov., 1896).