D'aprés ce qui a été dit dans la Leçon précédente, l'intégrale indefmie n'est autre chose que lavaleur générale de l'inconnue y assujettie à vérifier l'equation différentielle

De plus, étant donnée une valeur particulière F(x) de la mêrae inconnue, il suffira, pour obtenir la valeur générale, d'ajouter à F(x) une fonction ϖ(x) propre à vérifier l’équation ϖ’(cc) = o, ou, ce qui revient au même, une expression algébrique qui ne puisse admettre qu'un nombre fini de valeurs constantes, dont chacune subsiste entre certaines limites assignées à la variable x. Pour abréger, nous désignerons dorénavant par la lettre e unc expression de cette nature, et nous l'appellerons constante arbitraire, ce qui ne voudra pas dire qu'elle doive toujours cohserver la meme valeur, quel que soit x. Cela posé, on aura

Quand on remplace la fonction F(ar) par l'intégrale defmie fxxof(x) dx, qui est elle-même une valeur particulière de y, la formule (3) se réduit à

En étendantla définition que nous avons donnée de I'intégrale (i) au cas oú la fonction f(x) est supposee imaginaire, on reconnaîtra facilement que, dans cette hypothèse, les équations (3) et (4) subsistent encore. Seulement, la constante arbitraire e devient alors imaginaire en même temps que f(x), c'est-á-dire qu'elle prend la forme désignant deux constantes arbitraires, mais réelles.

Avant d'aller plus loin, il importe d'observer qu'en formant la somme ou la difference, ou meme une fonction lineaire quelconque de deux ou de plusieurs constantes arbitraires, on obtient pour resultat une nouvelle constante arbitraire.

Plusieurs proprietes remarquables des integrales definies se deduisent facilement de I'equation (4) combinee avec les formules (i3) (vingt-deuxieme Lecon)et(2), (3), (4), (5)(vingt-troisieme Lecon).