Actuaries of Polish National Insurance are in the happy position that they have at their disposal a wealth of complete statistics which permits study of the level of chance damage (the loss-rate) and its elements such as frequency of occurrence, spread, intensity, etc. This welcomed situation stems from the fact that in Poland there is general insurance in certain sectors of the national economy. For instance, in the case of cooperative and individual (private) farms the entire property (buildings, products, livestock, real estate and machines, household furniture, etc.) is insured according to uniform principles against all hazards—fire, winds, floods, hail, death of animals and others.

This, among other things, makes possible the statistical determination of the intensity of chance damages (i.e. the extent of damage to a given object during one accident) in various elements of farm property.

Studies of this type have been of great practical importance in the activities of Polish National Insurance, first and foremost in the reconstruction of the insurance rates in connection with a change in the system to the “first risk” system (employed almost exclusively at present in farm insurance). Moreover, it is interesting that these studies have also served as auxiliary material in the elaboration of the optimum programme for the utilization of the funds allocated for preventing chance damages.

Studies on the distribution of the intensity of chance damages on insured objects have led to interesting results which have confirmed once again that this distribution is dependent on the structure of the objects insured and on the risks (hazards) covered by insurance protection; any hypotheses concerning these distributions must be verified in each case by trial statistical studies.

The most important property of a distribution function to be used as a model for the distribution of one claim is of course that it fits the data well enough. If there is no natural truncation point in the data a more formal demand is that all the moments of the distribution function exist. Further, to be of a real value to the statistician, the chosen d.f. ought to be reasonably handy to use. As all the moments of the lognormal d.f. exist the first point to be checked is whether the lognormal d.f. fits the data. The other points on the list below are the qualities that I think are of the greatest value when using a distribution function, i.e. they reflect the handiness of the d.f.

Does the lognormal d.f.

1. Fit the data?

2. Give an unbiased and efficient estimate of the mean? It is important that this estimate is not too difficult to compute.

3. Give a practicable confidence interval of the mean?

4. Give a known distribution function of the estimate of the risk premium?

This paper is an attempt to give an affirmative answer to these questions. As the lognormal distribution function has been treated in the monograph “The lognormal distribution” by J. Aitchison and J. A. C. Brown (Cambridge University Press) the theory of this distribution function will not be dealt with more than necessary for the context.

Dans un traité antérieur, l'auteur a examiné, en collaboration avec M. Segerdahl, un certain nombre de fonctions analytiques propres à définir la distribution du montant d'un sinistre en s'arrêtant tout spécialement aux aspects présentant de l'intérêt du point de vue de l'assurance en excédent de sinistres. L'examen a révélé que les répartitions du type Pareto étaient intéressantes aussi bien du point de vue théorique — en tant que représentant un type de distribution particulièrement „dangereux” — que du point de vue pratique, le matériel statistique suédois et norvégien obtenu lors de l'analyse de différentes branches d'assurances — telles que Vie, Incendie et Automobile — semblant bien indiquer que pour de grands intervalles la distribution du type Pareto représenterait l'authentique matériel des dommages.

Nous nous permettrons par conséquent de nous arrêter tant soit peu aux caractéristiques de la distribution du type Pareto ainsi qu'aux formules découlant de la dite distribution pour la prime de risque en excédent de sinistres et ses variances.

Si P(x) exprime la distribution, I − P(x) = H(x) = C. x−∝ pour a < x ≤ M, M étant la valeur la plus grande pour x, en supposant que la probabilité d'atteindre la valeur M est H(M) = C. M−∝.

Si m(x) est la moyenne des portions de sinistres supérieures à x

Spécialement si M = ∞ on obtient .

We have printed the foregoing paper by Mr. Munden as submitted because we think that the detailed analysis will be of interest to all who have interests in the field of motor insurance rating. Of necessity, the data does not lend itself to analysis with respect to some of the known variables and we are conscious that some of the conclusions are controversial; some factors have also emerged from the discussions within ASTIN on motor insurance and it is therefore hoped that the following comments will be of value in relation to the paper.

It is of the utmost importance that a clear distinction is drawn between the concept of accident proneness and the heterogeneity shown from observations of claim frequencies under insurance policies. As the discussion at La Baule brought out, the first conclusion to be derived when a compound Poisson distribution emerged is that there is a degree of heterogeneity in the data. This might be due to differences in accident probabilities of the underlying risks, but it could be due, for example, to different exposures of similar risks. Lanteli's paper to the Rättvik colloquium showed a substantial variation of claims experience with annual mileage and thus without an analysis controlled with respect to mileage the conclusion that a proneness factor is solely involved must be suspect.

The very title of this paper may cause some surprise, since economic theory so far has found virtually no application in insurance. Insurance is obviously an economic activity, and it is indeed strange that general economic theory should seem inapplicable to insurance.

This apparent paradox may to some extent be explained by the historic development. Actuarial mathematics and the essential scientific basis of insurance were developed into a self-contained and fairly complete theory long before economists could claim the name of science for their subject. Actuaries and other insurance people may from time to time have turned to economic theory for help on their problems. In most cases they must have turned away in disappointment, being convinced that actuarial mathematics was well ahead of general economic theory.

The last point is brought out clearly in a paper on the safety loading of insurance premiums which Tauber (19) presented at the Sixth International Congress of Actuaries in Vienna in 1909. In the introduction to this paper Tauber seems to consider risk bearing as a service and appears to assume that it like all other goods and services must have a price, determined by supply and demand in the market. Tauber did not develop this idea, apparently because the economic theory of his time was utterly unable to analyse the problem. That his approach was sound, and that the problem can be formulated and solved by modern economic theory, has been indicated in a previous paper (6).

During the last thirty years there has been an extremely rapid development in economic theory. The “General Theory” of Keynes (12) which appeared in 1936, is usually considered to have caused a revolution in economic theory. However, this “revolution” has not lead to any developments which seem to have an immediate application in insurance. Post- and pre-Keynesian economics are equally powerless when confronted with the problem which Tauber tried to formulate. It is therefore premature to conclude from the title of this paper that economic theory has caught up with actuarial science, and that the theory of insurance has now become a part of a general theory comprising all economic activities.

Discriminant analysis is an application of multivariate analysis, which may have its use in determining accident risk levels and premiums of industrial enterprises. This paper only aims to give some suggestions. The following questions will be considered.

1. Determining a discriminant function which makes it possible to discriminate between the risk levels of the industrial branches in an efficient way. The industrial branches comprise enterprises with comparable risk levels, hence they are to be considered as homogeneous groups. The function will at the same time serve as a means to classify seperate enterprises into one of these groups.

2. Fixing risk functions which enable us to rank the enterprises of an industrial branch to increasing risk on the ground of observations of a number of variates which characterize the risk situation.

3. Using these risk functions to calculate premiums. The classification-question mentioned under I was the reason to consider the technique of the discriminant analysis. By virtue of the Dutch Industrial Accidents Act every five years a tariffdecree is being published. This decree contains the premiums per wage-unit for the industrial branches. However, there are enterprises e.g. large compound enterprises which do not fall under these regulations. These enterprises ought to be classified according to their own experience. That means we need the knowledge of the risk levels of these particular enterprises in relation to the fixed risk levels of the industrial branches. As mentioned, this is a problem inherent to the typical Dutch situation. It seems, however, probable that such problems and the techniques we intend to sketch have a wider and more general meaning for the accident insurance.

Un nouvel examen des normes qui régissent l'octroi des prestations d'assistance pharmaceutique semble s'imposer. En effet, l'introduction continuelle sur le marché de nouveaux produits pharmaceutiques — dont certains sont capables de juguler rapidement des formes morbides naguère lentes à guérir — et la confiance progressivement accrue que met le grand public dans des ordonnances toujours plus variées exigent, de la part des Instituts d'assurance sociale contre les maladies, des solutions permettant de répondre en même temps à des nécessités diverses: il s'agit en particulier de pouvoir autoriser l'utilisation des produits pharmaceutiques les plus modernes, capables d'accélérer la guérison des malades, même s'ils sont très coûteux, tout en évitant par ailleurs l'expansion anormale des ordonnances et en maintenant le coût de l'assistance dans les limites permises par les possibilités de financement.

Le choix de la solution la meilleure est done subordonné à un ensemble de considérations sur la nécessité et la possibilité des mesures à envisager; les aspects économiques de la question ne sont pas des moindres et leur étude doit de toute évidence reposer sur des bases techniques appropriées.

Il semblerait normal que ces bases techniques soient établies d'après des observations effectuées là où ces mêmes bases techniques doivent être employées; ceci n'est généralement pas possible et c'est pourquoi des éléments provenant d'autres expériences revêtent une importance particulière, ne serait-ce qu'à titre indicatif.

In this paper we shall study the problem of determining “correct” premium rates for sub-groups of an insurance collective. This problem obviously occurs in all branches of insurance. However, it seems at present to be a really burning issue in automobile insurance. We shall show that the problem can be formulated as a conflict between groups which can gain by co-operating, although their interests are opposed. When formulated in this way, the problem evidently can be analysed and solved by the help ot the “Game Theory” of Von Neumann and Morgenstern (5).

We shall first illustrate the problem by a simple example. We consider a group of n1 = 100 persons, each of whom may suffer a loss of 1, with probability p1 = 0.1. We assume that these persons consider forming an insurance company to cover themselves against this risk. We further assume that for some reason, government regulations or prejudices of managers, an insurance company must be organized so that the probability of ruin is less than 0.001

If such a company is formed, expected claim payment will be

and the standard deviation of the claim payments will be

If the government inspection (or the company's actuary) agrees that the ruin probability can be calculated with sufficient approximation by assuming that the claim payments have a normal distribution, the company must have funds amounting to

Il est un fait bien connu que la technique des assurances, qu'elles soient privées ou sociales, qui versent une indemnité en cas de maladie, se base premièrement sur la connaissance des fréquences et des durées moyennes de maladie, ou bien des coefficients de morbidité. Pour résoudre des problèmes particuliers, des instruments plus raffinés sont toutefois nécessaires, savoir:

a) la distribution des assurés d'après le nombre de cas dont ils ont été frappés au cours d'une année;

b) la distribution des cas d'après la durée en jours;

c) la distribution des assurés d'après les jours de maladie dont ils ont été frappés au cours d'une annèe.

Nous avons eu la possibilité d'elaborer les fiches de 44.829 travailleurs salariés (36.134 hommes et 8.695 femmes âgés de 15 à 65 ans) résidant à Rome et assurés obligatoirement auprès de l'Institut National d'assurance-maladie (Istituto Nazionale per l'assicurazione contro le malattie — INAM), et de relever les cas de maladie qui les ont frappés au cours de l'année 1960, en même temps que les durées correspondantes.).

Puisqu'il s'agit, comme on le verra, de données très détaillées, il nous a paru utile d'étudier les caractéristiques principales des trois distributions en question et les relations existant entre elles: l'exposé de certains résultats obtenus dans ce sens constitue l' objet de la présente note.

On n'a guère entendu dire jusqu'ici que la distribution empirique du coût d'un sinistre dans l'assurance sociale en cas d'accidents ait fait l'objet d'études spéciales. Comme la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents est en train de faire de tels examens en vue de résoudre certains problèmes de tarification que pose l'application de la théorie du risque, nous avons pensé qu'il serait intéressant de présenter une courte communication à ce sujet). Le présent rapport a pour objet l'étude des fonctions empiriques de la distribution du coût d'un accident professionnel dans cinq branches industrielles et artisanales en Suisse). Nous voudrions faire précéder notre exposé de quelques considérations sur l'organisation et les tâches de l'assurance sociale contre les accidents en Suisse ainsi que de l'énumération des désignations et abréviations employées dans ce rapport.

La Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents à Lucerne, en fonction depuis 1918, est un établissement de droit public autonome. Elle assure obligatoirement contre les conséquences économiques des accidents professionnels et non professionnels les ouvriers et employés des entreprises soumises à l'assurance conformément à la loi sur l'assurance en cas de maladie et d'accidents de 1911. Sont considérés comme accidents professionnels les accidents qui se produisent pendant le travail dans l'entreprise ainsi que les maladies professionnelles. Tous les autres accidents, notamment ceux qui se produisent sur le chemin pour se rendre au travail et en revenir, sont des accidents non professionnels. L'assurance des accidents professionnels et celle des accidents non professionnels forment deux branches d'assurance distinctes. Dans les deux branches, les prestations d'assurance sont les mêmes. Elles consistent dans le paiement des frais de traitement, d'une indemnité de chômage ainsi que dans l'octroi de rentes d'invalidité et de survivants.

Dans plusieurs études [1] Ammeter a démontré que la distribution binomiale négative généralisée peut être interprétée de différentes manières, à savoir comme

a. une contagion des probabilités (Pólya-Eggenberger);

b. une distribution de Poisson basée sur des probabilités fondamentales variables;

c. une distribution de Poisson où la probabilité fondamentale de sinistres n'est pas suffisamment connue;

d. une distribution de Poisson par rapport aux événements, où un seul événement peut comporter plusieurs prétentions de sinistres;

e. une distribution de Poisson basée sur une modification de la répartition des montants de sinistres.

On a, en effet, les relations suivantes:

a. la contagion des probabilités

où F(x, P, h, p(z)) représente la probabilité que le sinistre est au plus égal à x dans un intervalle de temps où le sinistre probable est P. x et P y sont exprimés en le sinistre moyen par événement. p(z)dz est la fonction de fréquence du sinistre par événement.

Nous posons est la convolution de p(z) avec p(z), faite r fois, tandis que h est la notation du paramètre qui figure dans la distribution binomiale négative. Si h est égal à ∞ nous obtenons comme fonction de répartition pour le nombre d'événements survenus la distribution de Poisson.