Supposons que l'on désigne par x, y deux variables réelles, par i une variable imaginaire, et par f(z), F(z) deux fonctions quelconques de z. Soient de plus

celles des racines de l'équation

dans lesquelles la partie réelle demeure comprise entre les limites x0, X, et le coefficient de entre les limites y0, Y. On aura, en vertu des principes du calcul des résidus,

Le second membre de l'équation (3) est évidemment la somme des fonctions semblables de plusieurs des racines de l'équation (2). Si Ton veut que les différents termes dont se compose cette somme se réduisent aux valeurs particuliéres de la fonction ϕ(z) qui correspondent il suffira de poser

ou, plus généralement,

ψ(z) désignant une fonction de z qui ne devienne pas infinie quand on attribue à la variables une des valeurs z1, z,2, …, zm. Cela posé, on trouvera

Les formules (6) et (7) s'étendent au cas môme oú l'équation (2) aurait des racines égales. Supposons en effet que les racines z1, z2, …, zn deviennent égales entre elles, et désignons par leur valeur commune.