Dans raon premier Mémoire sur les intégrales définies, présenté à l'lnstitut le 22 août 181ZJ, j'ai remarqué qu'une intégrale double devient quelquefois indéterminée, et qu'alors elle prend deux valeurs différentes suivant l'ordre qu'on établit entre les deux intégrations. Or la difference de ces deux valeurspeut etre calculée directement, lorsqu'il s'agit de cas particuliers. Mais on peut aussi la déterminer en général et a priori à l'aide des intégrales singulières dont j'ai développé la théorie, dans le Mémoire de 1814, dans le Bulletin de la Société philomathique de 1822 et dans le résumé des Leçons sur le Calcul infinitesimal. Je vais revenir un instant sur cette détermination, et je m'attacherai de préférence à quelques intégrales doubles dont la considération fournit les moyens d’évaluer un grand nombre d'intégrales définies.

Soient ϕ[x, y), x(x, y) deux fonctions propres à vérifier l’équation

Désignons d'ailleurs par F(x, y) l'un quelconque des deux membres de l’équation (1), par x0, X deux valeurs réelles de la variable x, et par y0, Y deux valeurs réelles de la variable y. Si la fonction f{x, y) reste finie et continue pour toutes les valeurs des variables x et y ren- fermées entre les limites x = x0, x = X, y = y0, y = Y, on aura ou, ce qui revient au même,

Si, au contraire, la fonction F(x, y) devient infinie ou indéterminée pour un ou plusieurs systètnes de valeurs de x et de y compris entre les limites x0, X; y0, Y, l’équation (3) cessera d’être exacte, et l'on aura ou, ce qui revient au même, Δ désignant la somme dc plusieurs intégrales singulières (voir la XXXIVe Leçon de Calcul infinitésimal).